4.8 Optimización

La optimización es una aplicación directa del cálculo y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras.

Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos.

En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.
5. Realizar la 2^a derivada para comprobar el resultado obtenido.

Directrices Para Resolver Problemas De Optimización

i) Lea el problema con atención; luego léalo de nuevo.

ii) Elabore un dibujo cuando sea posible; hágalo sencillo.

iii) Introduzca variables (en su dibujo, en caso de haber alguna) y observe cualquier restrición entre las variables.

iv) Use todas las variables necesarias para establecer la función objetivo. Si usa más de una variable, aplique la restricción para reducir la función a una variable.

v) Note el intervalo en que está definida sobre la función. Determine todos los números críticos.

vi) Si la función objetivo es continua y está definida sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces compruebe los extremos en puntos frontera. Si el extremo deseado no ocurre en el punto frontera, debe ocurrir en un número crítico en el intervalo abierto (a, b).

vii) Si la función objetivo está definida sobre un intervalo que no es cerrado entonces es necesario aplicar una prueba de la derivada en cada número crítico en este intervalo.